Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di svolgermi questo quesito:
Due circonferenze di raggio \(3r\) ed \(r\) e centro in \(O\) ed \(O’\) rispettivamente sono tangenti in \(A\) internamente. Tracciare da \(A\) una semiretta \(s\) che intersechi le due circonferenze e siano \(H\) e \(H'\) le proiezioni di \(O\) e di \(O’\) sulla semiretta \(s\). Determinare \(O’H’=x\) in modo che il perimetro del quadrilatero \(OHH'O'\) sia \(2kr\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, posto \(x=O’H’\), con \(0\leq x\leq r\), osserviamo che, per ragioni di simmetria, ad ogni costruzione nel semipiano al di sopra della retta \(OA\) ne corrisponde una isometrica nel semipiano inferiore, e quindi il numero di eventuali soluzioni trovate in corrispondenza ad un dato valore del parametro \(k\) dovrà essere raddoppiato, se si ammette che la semiretta \(s\) possa intersecare entrambe le coppie di semicirconferenze. Premesso ciò, applichiamo il teorema di Talete per ricavare le seguenti proporzioni: \[OH:O'H'=AH:AH'=OA:O'A\to OH=3x\quad HH':H'A=OO'=O'A\to HH'=2AH'=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}\] da cui si ricava il perimetro del quadrilatero \(OHH'O'\) e l’equazione richiesta: \[2r+x+2\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}+3x=2kr\to \sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}=r\left( k-1 \right)-2x\quad .\] L’equazione parametrica può essere rappresentata nel piano \(xy\) dal seguente modello geometrico-analitico: \[\left\{ \begin{array}{lll} y=\sqrt{r^2-{{x}^{2}}} \\ y=r(k-1)-2x \\ 0\leq x \leq r \end{array} \right.\] equivalente al seguente: \[\left\{ \begin{array}{lll} x^2+y^2=r^2 \\ 2x+y-r(k-1)=0 \\ 0\leq x\leq r,\;y\geq 0 \end{array} \right.\] Tale sistema rappresenta le intersezioni tra l’arco di circonferenza di raggio \(r\) centrata in \((0,0)\) compreso tra i punti \(A(r,0)\) e \(B(0,r)\) e il fascio di rette improprio di pendenza \(-2\): si ha una intersezione, cioè una soluzione accettabile del problema, se \(2\leq k <3\), si hanno due soluzioni se \(3\leq k<1+\sqrt{5}\): per \(k=1+\sqrt{5}\) si ha una soluzione doppia. Per quanto osservato in precedenza, il numero di soluzioni va raddoppiato se si vuole tener conto della simmetria del problema.
Massimo Bergamini