Ricevo da Jessica la seguente domanda:
Gent.mo Professore,
non riesco a risolvere il seguente integrale (n.250 pag. 45W Manuale Blu):\[\int{\frac{2\arctan x+1}{1+{{x}^{2}}}dx\quad .}\] Grazie.
Le rispondo così:
Cara Jessica,
posto \(t=\arctan x\), si ha anche \(dt=\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}\), per cui l’integrale diventa: \[\int{\left( 2t+1 \right)dt}={{t}^{2}}+t+c\to \int{\frac{2\arctan x+1}{1+{{x}^{2}}}dx={{\arctan }^{2}}x+\arctan x+c\quad .}\]
Massimo Bergamini