Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
le mando questo quesito:
Una piramide ha per base un rettangoolo \(ABCD\) la cui diagonale \(AC\) è \(25\) e la distanza del vertice \(B\) da essa è \(12\). I lati maggiori sono \(AB\) e \(CD\). Sapendo che la proiezione ortogonale del vertice \(V\) della piramide sul piano di base è nel punto di intersezione delle diagonali di \(ABCD\) e che gli angoli \(AVB\) e \(DVC\) sono retti, trovare area laterale e volume della piramide e l’area della sezione ottenuta con un piano parallelo alla base e distante da essa i \(2/3\) dell’altezza della piramide.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, ricaviamo le misure del rettangolo di base \(AB=x\) e \(BC=y\) osservando che si deve avere \(x^2+y^2=625\) e \(25:y=x:12\), da cui \(x=AB=20\) e \(y=BC=15\). Il fatto che le facce \(AVB\) e \(CVD\) siano triangoli rettangoli isosceli di ipotenusa \(20\) consente di dire subito che \(AV=VB=VC=VD=10\sqrt{2}\), per cui, osservando il triangolo rettangolo \(VOB\), possiamo ricavare \(VO=5\sqrt{7}/2\). Gli apotemi delle facce sono quindi \(VW=5\sqrt{23}/2\) e \(VU=2\sqrt{13}\), per cui area laterale \(S_L\), volume \(V\) della piramide e area della sezione \(MQNP\) sono: \[{{S}_{L}}=\frac{5\left( 16\sqrt{13}+15\sqrt{23} \right)}{2}\quad \quad V=250\sqrt{7}\quad \quad {{S}_{MQNP}}=\frac{1}{9}{{S}_{ABCD}}=\frac{100}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini