Ricevo da Jackelin la seguente domanda:
In un riferimento cartesiano \(xOy\) si considerino i punti \(A(1;1)\) e \(B(-1;1)\). Indicate con \(r\) ed \(s\) rispettivamente le rette \(OA\) e \(OB\), scrivere l'equazione della circonferenza passante per \(A\) e per \(B\) e ivi tangente alle rette \(r\) ed \(s\). Scrivere poi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse \(y\) passante per \(A\) e per \(B\) e ivi tangente alle rette \(r\) ed \(s\). Considerato sull'arco di parabola situato nel 1° quadrante un punto \(P\) di ascissa \(k\),detti \(M\) la sua proiezione sull'asse \(x\) ed \(N\) il punto d'intersezione della parallela per \(P\) all'asse \(x\) con la tangente in \(B\) alla parabola, si determini la posizione del punto \(P\) affinchè la somma delle distanze \(PM\) e \(PN\) sia uguale a \(2+\sqrt{3}\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Jackelin,
chiaramente le rette \(r\) ed \(s\) hanno equazioni \(y=x\) e \(y=-x\) rispettivamente. La circonferenza cercata deve avere il centro lungo l’asse \(y\), nel punto in cui si intersecano le perpendicolari ad \(r\) ed \(s\) passanti per \(A\) e \(B\), cioè \(C(0,2)\), e raggio \(OC=\sqrt{2}\), pertanto deve avere equazione \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2=0\). La parabola tangente in \(A\) e \(B\) ad \(r\) ed \(s\), per ragioni di simmetria deve essere del tipo \(y=ax^2+c\): il passaggio dai due punti implica \(c=1-a\), la condizione di tangenza, ad esempio, a \(r\), implica: \(1-4a\left( 1-a \right)=0\to a=\frac{1}{2}\), cioè l’equazione cercata è \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\). Sia \(P(k,k^2/2+1/2)\), con \(k>0\), il generico punto \(P\) richiesto; ne consegue che \(N\) ha coordinate \(N(k^2/2+1/2, k^2/2+1/2)\), per cui: \[PM=\frac{1}{2}{{k}^{2}}+\frac{1}{2}\quad \quad PN=\left| \frac{1}{2}{{k}^{2}}-k+\frac{1}{2} \right|=\frac{1}{2}{{\left( k-1 \right)}^{2}}\] pertanto: \[PM+PN=2+\sqrt{3}\leftrightarrow {{k}^{2}}+1+{{\left( k-1 \right)}^{2}}=4+2\sqrt{3}\leftrightarrow {{k}^{2}}-k-\left( 1+\sqrt{3} \right)=0\quad .\] La sola soluzione accettabile della precedente equazione è \[k=\frac{1+\sqrt{5+4\sqrt{3}}}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini