Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
questo quesito dice:
Tra le parabole che hanno asse verticale e vertice \(V(0,1)\) determinare quella che ha tangenti nei punti \(A\) e \(B\) di ascissa \(1\) e \(-1\) tra loro perpendicolari. Tra le parabole determinate indicare con \(p\) quella concava verso l’alto, scrivere le equazioni delle tangenti a \(p\) in \(A\) e \(B\), determinare il loro punto di intersezione \(C\) e calcolare il volume del solido generato da una rotazione di \(180^\circ\) attorno all’asse di \(p\) del triangolo mistilineo \(ABC\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
le parabole cercate hanno equazione del tipo \(y=ax^2+1\). La richiesta sulla perpendicolarità delle tangenti nei punti di ascissa \(\pm 1\) equivale alla condizione che \(2a\cdot (-2a)=-1\), cioè \(a=\pm 1/2\); la parabola \(p\) ha equazione \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+1\) e le tangenti in \(A(1,3/2)\) e in \(B(-1,3/2)\), cioè le rette \(y=x+1/2\) e \(y=-x+1/2\), si incontrano nel punto \(C(0,1/2)\). Il solido di rotazione di cui si chiede il volume può considerarsi come la differenza tra il cono di raggio di base \(AG=1\) e altezza \(GC=1\), di volume \(V_C=\pi/3\) e il paraboloide di volume
\[{{V}_{P}}=\pi \int\limits_{1}^{3/2}{\left( 2y-2 \right)dy=\pi \left[ {{y}^{2}}-2y \right]_{1}^{3/2}=\frac{\pi }{4}}\] per cui il volume del solido in questione è pari a \(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{12}\).
Massimo Bergamini