Ricevo da Maria Antonella la seguente domanda:
Caro professore,
non so proprio come calcolare questo integrale!
Calcolare la misura dell'area della parte di piano \(A\) così definita:
\[A=\left\{ \left( x,y \right)|{{x}^{2}}-4x+3<0\wedge 0<y<\sqrt{x+1} \right\}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Maria Antonella,
la regione \(A\) non è altro che il sottografico della funzione \(y=\sqrt{x+1}\) tra i punti di ascissa \(x=1\) e \(x=3\), essendo \({{x}^{2}}-4x+3<0\leftrightarrow 1<x<3\), quindi: \[A=\int\limits_{1}^{3}{\sqrt{x+1}\,dx}=\frac{2}{3}\left[ \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}} \right]_{1}^{3}=\frac{16}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{4}{3}\left( 4-\sqrt{2} \right)\approx 5,17\quad .\]
Massimo Bergamini