Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
in un piano riferito ad un sistema cartesiano ortogonale traccia la curva di equazione \(y=\frac{x-1}{x+1}\). Condotta poi per il punto \((-1,1)\) la retta di coefficiente angolare \(m\), si dica per quali valori di \(m\) una delle sue intersezioni con la curva appartiene al primo o al quarto quadrante o al terzo quadrante. Si determinino inoltre la lunghezza della corda minima intercettata sulla retta dalla curva e si dica qual è il rapporto maggiore di 1 fra le aree dei triangoli che le tangenti negli estremi di tale corda formano con gli assi coordinati.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la curva in questione è un’iperbole equilatera (grafico di funzione omografica) avente come asintoto orizzontale la retta \(y=1\) e come asintoto verticale la retta \(x=-1\), pertanto il fascio di rette passante per il suo centro \(A(-1,1)\), di equazione \(y=m(x+1)+1\), la interseca nei quadranti richiesti se e solo se la interseca comunque, cioè se l’equazione \(mx^2+2mx+m+2=0\) che si ottiene dalla loro intersezione ha discriminante positivo, cioè se e solo se \(m<0\).
I punti di intersezione retta-iperbole sono dati da: \[B\left( \frac{-m+\sqrt{-2m}}{m},1+\sqrt{-2m} \right)\quad \quad C\left( \frac{-m-\sqrt{-2m}}{m},1-\sqrt{-2m} \right)\] per cui la corda \(BC\) ha lunghezza: \[l\left( m \right)=\overline{BC}=\sqrt{{{\left( \frac{2\sqrt{-2m}}{m} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{-2m} \right)}^{2}}}=2\sqrt{-2\left( \frac{1}{m}+m \right)}\quad .\]Deriviamo l’espressione \(l(m)\) per ricavare il minimo richiesto: \[l'\left( m \right)=\frac{2\left( 1-{{m}^{2}} \right)}{{{m}^{2}}\sqrt{-2\left( \frac{1}{m}+m \right)}}\to l'\left( m \right)=0\wedge m<0\leftrightarrow m=-1\] valore che, come si può verificare dall’analisi del segno di \(l’(m)\), corrisponde al minimo cercato. In corrispondenza a tale valore gli estremi della corda minima sono i punti: \[B\left( -1-\sqrt{2},1+\sqrt{2} \right)\quad \quad C\left( -1+\sqrt{2},1-\sqrt{2} \right)\quad .\] Poiché la derivata della funzione omografica in esame è \(y'(x)=2/{{\left( x+1 \right)}^{2}}\), si hanno le seguenti rette tangenti nei punti \(B\) e \(C\): \[{{y}_{B}}=x+2\left( \sqrt{2}+1 \right)\quad \quad \quad {{y}_{C}}=x-2\left( \sqrt{2}-1 \right)\] che definiscono con gli assi coordinati rispettivamente i triangoli rettangoli isosceli \(OFE\) e \(OGH\) le cui aree stanno nel seguente rapporto: \[\frac{{{S}_{OFE}}}{{{S}_{OGH}}}=\frac{{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}}{{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=17+12\sqrt{2}\approx 33,97\quad .\]
Massimo Bergamini