Ricevo da Nadia la seguente domanda:
Caro professore,
la circonferenza di centro \(O\) è raggio \(1\) viene trasformata in una circonferenza che ha centro \(C( 4,3)\) e raggio \(3\). Trovare l’equazione dell’omotetia che trasforma la prima circonferenza nella seconda. Trovare l’equazione delle due circonferenze e verificare che l’omotetia trasforma la prima nella seconda.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Nadia,
in generale un’omotetia di fattore di scala \(k\) e centro \((x_0,y_0)\) ha equazione: \[x'=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{x}_{0}}\quad \quad y'=k\left( y-{{y}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\] per cui, essendo nel nostro caso \(k=3\) (il raggio della circonferenza viene triplicato), e dovendo il centro \(O(0,0)\) essere trasformato nel centro \(C(4,3)\), si ha: \[4=-3{{x}_{0}}+{{x}_{0}}\to {{x}_{0}}=-2\quad \quad 3=-3{{y}_{0}}+{{y}_{0}}\to {{y}_{0}}=-\frac{3}{2}\] cioè l’omotetia in questione ha equazione: \[x'=3x+4\quad \quad y'=3y+3\quad .\] Le due circonferenze hanno equazioni, rispettivamente: \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\quad \quad \quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x-6y+16=0\] e infatti, operando sulla prima con l’omotetia, cioè sostituendo a \(x\) e \(y\) le espressioni dell’omotetia inversa \(x'=\frac{x}{3}-\frac{4}{3}\), \(y'=\frac{y}{3}-1\), si ottiene la seconda: \[{{\left( \frac{x}{3}-\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{3}-1 \right)}^{2}}=1\to \frac{{{x}^{2}}}{9}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{9}-\frac{2}{3}y+1=1\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x-6y+16=0\ .\]
Massimo Bergamini