Ricevo da Roberto la seguente domanda:
Determina il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla retta di equazione \(y=\frac{3}{2}\), passanti per il punto \(A(0;4)\). Classifica tale luogo geometrico e calcola l’area della regione finita di piano compresa tra esso, l’asse \(x\) e le rette di equazione \(x=1\) e \(x=3\).
La ringrazio.
Gli rispondo così:
Caro Roberto,
potremmo ricavare l’equazione del luogo dei centri della famiglia di circonferenze dall’equazione parametrica di tale famiglia, ricavata a sua volta imponendo all’equazione generale della circonferenza le condizioni di passaggio per il punto \(A\) e di tangenza alla retta data. Nel nostro caso, tuttavia, si può evitare questa laboriosa procedura se si osserva che il luogo è certamente una parabola, avente il fuoco nel punto \(A\) e la retta \(y=\frac{3}{2}\) come direttrice: infatti il centro \(C\) delle circonferenze equidista da \(A\) e dalla retta e quindi soddisfa alla condizione che definisce la parabola suddetta. L’asse della parabola è l’asse \(y\) e quindi l’equazione è del tipo \(y=ax^2+c\); poiché il vertice è il punto dell’asse intermedio tra fuoco e direttrice, si ha \(c=11/4\). Per ricavare \(a\) basta ricordare che l’ordinata del fuoco differisce di \(\frac{1}{4a}\) da quella del vertice, per cui \(a=\frac{1}{5}\), e quindi il luogo cercato è la parabola di equazione \[y=\frac{1}{5}{{x}^{2}}+\frac{11}{4}\quad .\] La regione finita di piano di cui si richiede l’area \(S\) è quindi data dall’integrale seguente: \[S=\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{{{x}^{2}}}{5}+\frac{11}{4} \right)dx=\left[ \frac{1}{15}{{x}^{3}}+\frac{11}{4}x \right]}_{1}^{3}=\frac{217}{30}\quad .\]
Massimo Bergamini