Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
chiedo aiuto per lo studio di questa funzione:\[y=\frac{\left| \sin x-1/2\right|}{{{\cos }^{2}}x-\sin x}\] determinando in particolare il periodo su quale si voglia rappresentare la curva.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
essendo il periodo della funzione \(2\pi\), possiamo scegliere qualunque intervallo di questa ampiezza per rappreserntare la funzione, ad esempio l’intervallo \(\left[ 0,2\pi \right]\). La funzione risulta non definita laddove \({{\cos }^{2}}x=\sin x\), cioè \({{\sin }^{2}}x+\sin x-1=0\): nell’intervallo \(\left[ 0,2\pi \right]\) questo si verifica per \(x_1=\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)\approx 0,666\) e \(x_2=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)\approx 2,475\). La funzione può essere riscritta in questo modo:\[ y=\frac{1-2\sin x}{2\left( {{\sin }^{2}}x+\sin x-1 \right)}\quad se\quad \frac{\pi }{6}\le x\le \frac{5\pi }{6},x\ne {{x}_{1}},{{x}_{2}}\] \[y=\frac{2\sin x-1}{2\left( {{\sin }^{2}}x+\sin x-1 \right)}\quad se\quad 0\le x<\frac{\pi }{6}\vee \frac{\pi }{6}<x\le 2\pi\] da cui possiamo dedurre i seguenti limiti: \[\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{x}_{2}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \quad \quad \underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{x}_{2}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \] in cui abbiamo fatto uso anche della simmetria della funzione rispetto agli assi \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi\) (la corrispondente simmetria assiale cambia \(x\) in \(\pi-x+2k\pi\), per cui la funzione seno rimane invariata). La funzione si annulla per \(x=\frac{\pi }{6}\) e per \(x=\frac{5\pi }{6}\), ed è negativa nell’intervallo \(\left] {{x}_{1,}}{{x}_{2}} \right[\). La derivata prima ha la seguente espressione: \[y'=\frac{\cos x\left( 2{{\sin }^{2}}x-2\sin x+1 \right)}{2{{\left( {{\sin }^{2}}x+\sin x-1 \right)}^{2}}}\quad se\quad \frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi }{6},x\ne {{x}_{1}},{{x}_{2}}\]\[y'=-\frac{\cos x\left( 2{{\sin }^{2}}x-2\sin x+1 \right)}{2{{\left( {{\sin }^{2}}x+\sin x-1 \right)}^{2}}}\quad se\quad 0\le x<\frac{\pi }{6}\vee \frac{5\pi }{6}<x\le 2\pi\] Come si può osservare, \(y’\) si annulla solo nei valori di annullamento del coseno, cioè \(x=\frac{\pi }{2}\) e per \(x=\frac{3\pi }{2}\), dove la funzione presenta due punti di massimo relativo, mentre non è derivabile nei punti \(x_1=\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)\) e \(x_2=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)\), come confermato dal fatto che in tali punti i limiti da destra e da sinistra di \(y’\) sono diversi; il grafico presenta qui due punti angolosi, che sono anche due minimi relativi, se pur non “regolari”.
Massimo Bergamini