MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Uno studio di funzione goniometrica

Uno studio di funzione goniometrica

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 3 Maggio 2013
Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
chiedo aiuto per lo studio di questa funzione:\[y=\frac{\left| \sin x-1/2\right|}{{{\cos }^{2}}x-\sin x}\] determinando in particolare il periodo su quale si voglia rappresentare la curva.
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
 
 
Cara Elisa,
essendo il periodo della funzione \(2\pi\), possiamo scegliere qualunque intervallo di questa ampiezza per rappreserntare la funzione, ad esempio l’intervallo \(\left[ 0,2\pi \right]\). La funzione risulta non definita laddove \({{\cos }^{2}}x=\sin x\), cioè \({{\sin }^{2}}x+\sin x-1=0\): nell’intervallo \(\left[ 0,2\pi \right]\) questo si verifica per \(x_1=\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)\approx 0,666\) e \(x_2=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)\approx 2,475\). La funzione può essere riscritta in questo modo:\[ y=\frac{1-2\sin x}{2\left( {{\sin }^{2}}x+\sin x-1 \right)}\quad se\quad \frac{\pi }{6}\le x\le \frac{5\pi }{6},x\ne {{x}_{1}},{{x}_{2}}\] \[y=\frac{2\sin x-1}{2\left( {{\sin }^{2}}x+\sin x-1 \right)}\quad se\quad 0\le x<\frac{\pi }{6}\vee \frac{\pi }{6}<x\le 2\pi\] da cui possiamo dedurre i seguenti limiti: \[\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{x}_{2}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \quad \quad \underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{x}_{2}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \] in cui abbiamo fatto uso anche della simmetria della funzione rispetto agli assi \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi\) (la corrispondente simmetria assiale cambia \(x\) in \(\pi-x+2k\pi\), per cui la funzione seno rimane invariata). La funzione si annulla per \(x=\frac{\pi }{6}\) e per \(x=\frac{5\pi }{6}\), ed è negativa nell’intervallo \(\left] {{x}_{1,}}{{x}_{2}} \right[\). La derivata prima ha la seguente espressione: \[y'=\frac{\cos x\left( 2{{\sin }^{2}}x-2\sin x+1 \right)}{2{{\left( {{\sin }^{2}}x+\sin x-1 \right)}^{2}}}\quad se\quad \frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi }{6},x\ne {{x}_{1}},{{x}_{2}}\]\[y'=-\frac{\cos x\left( 2{{\sin }^{2}}x-2\sin x+1 \right)}{2{{\left( {{\sin }^{2}}x+\sin x-1 \right)}^{2}}}\quad se\quad 0\le x<\frac{\pi }{6}\vee \frac{5\pi }{6}<x\le 2\pi\] Come si può osservare, \(y’\) si annulla solo nei valori di annullamento del coseno, cioè \(x=\frac{\pi }{2}\) e per \(x=\frac{3\pi }{2}\), dove la funzione presenta due punti di massimo relativo, mentre non è derivabile nei punti \(x_1=\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)\) e \(x_2=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)\), come confermato dal fatto che in tali punti i limiti da destra e da sinistra di \(y’\) sono diversi; il grafico presenta qui due punti angolosi, che sono anche due minimi relativi, se pur non “regolari”.
 
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, asintoti, derivate, goniometria, grafici, studio di funzione


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl