Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non ho capito questo quesito:
In un sistema di assi cartesiani opportunamente scelto si consideri il quadrato di lato unitario con i lati paralleli alle bisettrici dei quadranti. Tra tutte le parabole passanti per due suoi vertici opposti si determinino le due parabole che dividono il quadrato in tre parti equivalenti.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
il quadrato in questione ha i vertici nei punti \(A\left( 0,-{\sqrt{2}}/{2}\; \right)\), \(B\left( {\sqrt{2}}/{2}\;,0 \right)\), \(C\left( 0,{\sqrt{2}}/{2}\; \right)\) e \(D\left( -{\sqrt{2}}/{2}\;,0 \right)\) del riferimento centrato nel centro del quadrato. Una parabola passante per i punti \(B\) e \(D\) ha equazione del tipo \(y=ax^2-a/2\). Se si vuole che tale parabola, insieme alla sua simmetrica rispetto all’asse \(x\), cioè \(y=-ax^2+a/2\), definisca una regione di area pari a \(1/3\), è necessario che il suo sottografico, tra i punti \(D\) e \(B\), abbia area pari a \(1/6\); sfruttando la simmetria rispetto a \(y\), la condizione equivale alla seguente: \[\int\limits_{0}^{\sqrt{2}/2}{\left( a{{x}^{2}}-\frac{a}{2} \right)dx=\frac{1}{12}\to \left[ \frac{a{{x}^{3}}}{3}-\frac{ax}{2} \right]}_{0}^{\sqrt{2}/2}=\frac{1}{12}\to a=-\frac{\sqrt{2}}{4}\] per cui le due parabole che sodisfano la condizione richiesta sono le seguenti: \[y=-\frac{\sqrt{2}}{4}{{x}^{2}}+\frac{\sqrt{2}}{8}\quad \quad \quad y=\frac{\sqrt{2}}{4}{{x}^{2}}-\frac{\sqrt{2}}{8}\quad .\]
Massimo Bergamini