Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non ho capito questo quesito:
Calcolare il volume del solido ottenuto da una rotazione della regione piana limitata dalle curve di cui è assegnata l’equazione attorno alle rette indicate: \[y=x^2\quad\quad y=-x^2+4x\] asse di rotazione: a) asse \(x\); b) \(y=6\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la regione in questione è delimitata dagli archi \(AB\) delle due parabole, essendo \(A(0,0)\) e \(B(2,4)\). Nel primo caso, il volume \(V_1\) del solido è dato dalla differenza dei seguenti integrali: \[{{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( -{{x}^{2}}+4x \right)}^{2}}dx-}\pi \int\limits_{0}^{2}{{{x}^{4}}dx=}8\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 2{{x}^{2}}-{{x}^{3}} \right)dx=}8\pi \left[ \frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{4}{{x}^{4}} \right]_{0}^{2}=\frac{32}{3}\pi \quad .\] Nel secondo caso, possiamo far coincidere l’asse di rotazione \(y=6\) con l’asse delle ascisse sottoponendo le figure ad una traslazione di 6 unità verso il basso: le equazioni delle parabole diventano \[y=x^2-6\quad\quad y=-x^2+4x-6\] e il volume \(V_2\), di conseguenza, è dato da: \[{{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( {{x}^{2}}-6 \right)}^{2}}dx-}\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( -{{x}^{2}}+4x-6 \right)}^{2}}dx=}8\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+6x \right)dx=}8\pi \left[ \frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{5}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right]_{0}^{2}=\frac{64}{3}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini