Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
posso sapere come si risolve questo quesito?
I due settori circolari consecutivi \(AOB\), \(BOC\) del cerchio di centro \(O\) e raggio \(r\), hanno ciascuno l’angolo al centro di ampiezza \(\alpha\le 45{}^\circ\). Si determini l’angolo \(\alpha\) in modo che sia \(k\) il rapporto fra il maggiore e il minore dei due solidi generati dai due settori dati, in una rotazione completa attorno alla retta \(OA\). Si consideri il caso particolare \(k = 1 + \sqrt{2}\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, otteniamo: \[OL=r\cos 2\alpha \quad OM=r\cos \alpha \quad CL=r\sin 2\alpha \quad BM=r\sin \alpha \quad LA=r\left( 1-\cos 2\alpha \right)\quad MA=r\left( 1-\cos \alpha \right)\] e quindi, ricordando le formule: \({{V}_{cono}}=\frac{\pi }{3}{{r}^{2}}h\), \({{V}_{calotta}}=\frac{\pi }{3}{{h}^{2}}\left( 3r-h \right)\), ricaviamo i volumi: \[{{V}_{1}}={{V}_{cono(OB{B}')}}+{{V}_{calotta(BA{B}')}}\quad \quad {{V}_{2}}={{V}^{*}}-{{V}_{1}},\quad {{V}^{*}}={{V}_{cono(OC{C}')}}+{{V}_{calotta(CA{C}')}}-{{V}_{1}}\] cioè: \[{{V}_{1}}=\frac{\pi }{3}{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\alpha \cos \alpha +\frac{\pi }{3}{{r}^{3}}{{\left( 1-\cos \alpha \right)}^{2}}\left( 2+\cos \alpha \right)\] \[{{V}^{*}}=\frac{\pi }{3}{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}2\alpha \cos 2\alpha +\frac{\pi }{3}{{r}^{3}}{{\left( 1-\cos 2\alpha \right)}^{2}}\left( 2+\cos 2\alpha \right)\quad .\] Si ha quindi: \[\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{V}^{*}}-{{V}_{1}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{V}^{*}}}{{{V}_{1}}}-1\to \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha \cos 2\alpha +{{\left( 1-\cos 2\alpha \right)}^{2}}\left( 2+\cos 2\alpha \right)}{{{\sin }^{2}}\alpha \cos \alpha +{{\left( 1-\cos \alpha \right)}^{2}}\left( 2+\cos \alpha \right)}-1\] da cui, con note formule: \[\frac{{{V}^{*}}}{{{V}_{1}}}=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha \right)+{{\left( 2{{\sin }^{2}}\alpha \right)}^{2}}\left( 2+{{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha \right)}{{{\sin }^{2}}\alpha \cos \alpha +\left( 1-2\cos \alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right)\left( 2+\cos \alpha \right)}=\] \[=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{4}}\alpha -4{{\sin }^{4}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha +8{{\sin }^{4}}\alpha +4{{\sin }^{4}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha -4{{\sin }^{6}}\alpha }{\cos \alpha -{{\cos }^{3}}\alpha +2+\cos \alpha +2{{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{3}}\alpha -4\cos \alpha -2{{\cos }^{2}}\alpha }=\]
\[=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha +4{{\sin }^{6}}\alpha -8{{\sin }^{4}}\alpha +8{{\sin }^{4}}\alpha -4{{\sin }^{6}}\alpha }{2\left( 1-\cos \alpha \right)}=\frac{2\left( 1-\cos \alpha \right)\left( 1+\cos \alpha \right)}{\left( 1-\cos \alpha \right)}=2\left(1+\cos \alpha \right)\quad .\] Pertanto, la condizione richiesta si traduce nella seguente equazione parametrica: \[\cos \alpha =\frac{k-1}{2}\quad \quad \quad 0\le \alpha \le \frac{\pi }{4}\] che ammette soluzioni accettabili se e solo se \(\sqrt{2}\le k-1\le 2\to 1+\sqrt{2}\le k\le 3\); in particolare, per \(k=1+\sqrt{2}\) si ha \(\alpha =\frac{\pi }{4}\).
Massimo Bergamini