Ricevo da Mari la seguente domanda:
Gentilissimo Professor Bergamini,
mi può aiutare con il seguente esercizio? (Matutor, pag. 302 n. 67):
Determina il valore del parametro \(k\) in modo che le funzioni di equazione \(xy=k\) e \(y=-x^2+kx+1\) si intersechino nel punto di ascissa \(4\). Calcola, inoltre, il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) della superficie limitata dai grafici delle due funzioni.
La ringrazio molto.
Le rispondo così:
Cara Mari,
ricaviamo innanzitutto il valore di \(k\) imponendo l’uguaglianza \(\frac{k}{4}=-16+4k+1\), da cui \(k=4\), e le equazioni delle due funzioni cercate: \[y=\frac{4}{x}\quad \quad y=-{{x}^{2}}+4x+1\quad .\] I grafici delle due funzioni si intersecano nei punti \(A(1,4)\), \(B(4,1)\) e \(C(-1,-4)\); la regione di piano limitata compresa tra le due curve è quella definita dagli archi \(AB\) delle due curve stesse. Il volume \(V\) del solido di rotazione si può pensare come differenza tra il volume \(V_1\) ottenuto dalla rotazione del sottografico dell’arco di parabola e il volume \(V_2\) del solido ottenuto dalla rotazione del sottografico dell’arco di iperbole: \[V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\pi \int\limits_{1}^{4}{{{\left( -{{x}^{2}}+4x+1 \right)}^{2}}dx-}\pi \int\limits_{1}^{4}{{{\left( \frac{4}{x} \right)}^{2}}dx=\pi \int\limits_{1}^{4}{\left( {{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}+8x+1-\frac{16}{{{x}^{2}}} \right)dx}=}\] \[=\pi \left[ \frac{{{x}^{5}}}{5}-2{{x}^{4}}+\frac{14}{3}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+x+\frac{16}{x} \right]_{1}^{4}=\frac{198}{5}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini