MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Rotazione di una regione piana

Rotazione di una regione piana

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 12 Maggio 2013
Ricevo da Mari la seguente domanda:
 
Gentilissimo Professor Bergamini,
mi può aiutare con il seguente esercizio? (Matutor, pag. 302 n. 67):
Determina il valore del parametro \(k\) in modo che le funzioni di equazione \(xy=k\) e \(y=-x^2+kx+1\) si intersechino nel punto di ascissa \(4\). Calcola, inoltre, il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) della superficie limitata dai grafici delle due funzioni.
La ringrazio molto.
 
Le rispondo così:
 
Cara Mari,
ricaviamo innanzitutto il valore di \(k\) imponendo l’uguaglianza \(\frac{k}{4}=-16+4k+1\), da cui \(k=4\), e le equazioni delle due funzioni cercate: \[y=\frac{4}{x}\quad \quad y=-{{x}^{2}}+4x+1\quad .\] I grafici delle due funzioni si intersecano nei punti \(A(1,4)\), \(B(4,1)\) e \(C(-1,-4)\); la regione di piano limitata compresa tra le due curve è quella definita dagli archi \(AB\) delle due curve stesse. Il volume \(V\) del solido di rotazione si può pensare come differenza tra il volume \(V_1\) ottenuto dalla rotazione del sottografico dell’arco di parabola e il volume \(V_2\) del solido ottenuto dalla rotazione del sottografico dell’arco di iperbole: \[V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\pi \int\limits_{1}^{4}{{{\left( -{{x}^{2}}+4x+1 \right)}^{2}}dx-}\pi \int\limits_{1}^{4}{{{\left( \frac{4}{x} \right)}^{2}}dx=\pi \int\limits_{1}^{4}{\left( {{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}+8x+1-\frac{16}{{{x}^{2}}} \right)dx}=}\] \[=\pi \left[ \frac{{{x}^{5}}}{5}-2{{x}^{4}}+\frac{14}{3}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+x+\frac{16}{x} \right]_{1}^{4}=\frac{198}{5}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, integrali definiti, iperbole, parabola, solidi di rotazione


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl