Ricevo da Jessica la seguente domanda:
Gentilissimo Professor Bergamini,
non riesco a risolvere il seguente esercizio (Matutor, pag. 302 n. 71):
Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(y\) del trapezoide individuato dalla porzione di parabola di equazione \(x=9-{{y}^{2}}\) contenuta nel semipiano positivo delle \(y\), dall’asse \(y\) e dalla retta di equazione \(y=\frac{3}{5}x-1\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Jessica,
una volta ricavati i vertici del trapezoide, o meglio del triangolo curvilineo, cioè: \[A\left( 0,3 \right)\quad \quad B\left( 5,2 \right)\quad \quad C\left( -1,0 \right)\] osserviamo che il volume \(V\) del solido in questione si può ottenere come somma dei volumi \(V_1\) e \(V_2\) dei solidi ottenuti dalla rotazione, rispettivamente, del triangolo curvilineo \(ABH\), con \(H(0,2)\) proiezione di \(B\) sull’asse \(y\), e del triangolo rettangolo \(HBC\), che genera un cono. La funzione che esprime l’arco di parabola \(AB\) è già data in termini espliciti rispetto ad \(x\), per cui: \[{{V}_{1}}=\pi \int\limits_{2}^{3}{{{\left( 9-{{y}^{2}} \right)}^{2}}dy}=\pi \left[ 81y-6{{y}^{3}}+\frac{1}{5}{{y}^{5}} \right]_{2}^{3}=\frac{46}{5}\pi \] mentre il volume \(V_2\) del cono di base \(BH=5\) e altezza \(HC=3\) è semplicemente \(V_2=25\pi\), per cui: \[V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{46}{5}\pi +25\pi =\frac{171}{5}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini