Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
come si imposta questo problema?
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali \(xOy\), siano date due parabole con gli assi perpendicolari all’asse delle \(x\), i cui vertici siano allineati con l’origine \(O\) e abbiano le ordinate rispettivamente eguali a \(1\) e \(3\). Si sa inoltre che le due curve hanno in comune il punto \(A(0;2)\). Assunto come parametro \(k\) l’ascissa del vertice di ordinata minore, si scrivano le equazioni delle due curve e si esprimano per mezzo di \(k\) le coordinate del loro secondo punto d’incontro; indi si determini l’area della regione limitata dalle due curve. Infine si trovino, tra le corde della regione considerata, che siano parallele all’asse delle \(y\):
(a) quella di lunghezza massima;
(b) quella che con il punto \(A\) individua il triangolo di area massima.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
detto \(V_1(k,1)\) il vertice della prima parabola, i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\) della sua equazione devono essere tali che, tenendo conto del passaggio per il punto \(A(0,2)\): \[c=2,\quad b=-2ak,\quad a{{k}^{2}}+bk+2=1\to a=\frac{1}{{{k}^{2}}},\ b=-\frac{2}{k},\quad c=2\] per cui, posto che sia \(k\neq 0\), la prima parabola ha equazione: \[{{\gamma }_{1}}:y=\frac{1}{{{k}^{2}}}{{x}^{2}}-\frac{2}{k}x+2\quad .\] Detto \(V_2(h,3)\) il vertice della seconda parabola, dalla condizione di allineamento con l’origine del riferimento si ricava che \(1:k=3:h\), cioè \(h=3k\); pertanto, i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\) della sua equazione devono essere tali che, tenendo conto anche in tal caso del passaggio per il punto \(A(0,2)\): \[c=2,\quad b=-6ak,\quad 9a{{k}^{2}}+3bk+2=3\to a=-\frac{1}{9{{k}^{2}}},\ b=\frac{2}{3k},\quad c=2\] per cui la seconda parabola ha equazione: \[{{\gamma }_{2}}:y=-\frac{1}{9{{k}^{2}}}{{x}^{2}}+\frac{2}{3k}x+2\quad .\] Intersecando le due parabole, e posto che sia \(k\neq 0\), si ottiene l’equazione risolvente \(-x^2+6kx=9x^2-18kx\), che ammette le soluzioni \(x=0\) e \(x=\frac{12}{5}k\): la prima corrisponde al punto \(A\), la seconda al punto \(B\left( \frac{12}{5}k,\frac{74}{25} \right)\); si noti che l’ordinata di \(B\) è costante al variare di \(k\). Per individuare l’area \(S\) della regione delimitata dagli archi \(AB\) di \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) e le corde parallele all’asse \(y\) consideriamo la differenza delle due funzioni, nell’ordine \(\gamma_2-\gamma_1\) per ottenere quantità positive nell’intervallo \(\left[ 0,\frac{12}{5}k \right]\): \[S=\int\limits_{0}^{12k/5}{\left( -\frac{10}{9{{k}^{2}}}{{x}^{2}}+\frac{8}{3k}x \right)dx=\left[ -\frac{10}{27{{k}^{2}}}{{x}^{3}}+\frac{4}{3k}{{x}^{2}} \right]_{0}^{12k/5}}=\frac{64}{25}k\quad .\] Una generica corda \(RS\) ha quindi lunghezza \(l_k(x)=-\frac{10}{9{{k}^{2}}}{{x}^{2}}+\frac{8}{3k}x\); deriviamo rispetto a \(x\) e cerchiamo il valore di massimo:\[l{{'}_{k}}\left( x \right)=-\frac{20}{9{{k}^{2}}}x+\frac{8}{3k}\to l'\left( k \right)=0\leftrightarrow x=\frac{6}{5}k\to {{l}_{\max }}=\frac{8}{5}\quad .\] Si noti l’indipendenza dal parametro \(k\) della lunghezza della corda che realizza il massimo. Infine, il triangolo \(ARS\) ha, in funzione di \(x\), un’area \(s_k(x)=-\frac{5}{9{{k}^{2}}}{{x}^{3}}+\frac{4}{3k}x^2\); deriviamo rispetto a \(x\) e cerchiamo il valore di massimo: \[s{{'}_{k}}\left( x \right)=-\frac{5}{3{{k}^{2}}}{{x}^{2}}+\frac{8}{3k}x\to l'\left( k \right)=0\leftrightarrow x=0\vee x=\frac{8}{5}k\to l\left( {{s}_{\max }} \right)=\frac{64}{45}\quad .\] Anche in questo caso la lunghezza della corda che realizza il massimo valore per l’area del triangolo non dipende dal parametro \(k\).
Massimo Bergamini