Ricevo da Giovanni la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
ho difficoltà nel risolvere il seguente quesito:
Si calcoli il volume ottenuto dalla rotazione intorno all'asse \(y=1\) della superficie delimitata dalle rette di equazione \(x=-1\), \(x=1\), \(y=1\) e dalla curva di equazione \[y=\frac{x-1}{x-2}\]. Non riesco a capire come adattare la nota formula per il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione quando l'asse di rotazione è traslato come in questo caso.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Giovanni,
possiamo avere due approcci equivalenti a questo problema:
1) effettuare una traslazione in direzione \(y\) di \(-1\) unità, in modo che l’asse di rotazione venga a coincidere con l’asse \(x\), e procedere nel modo usuale: \[V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{{{\left( \frac{x-1}{x-2}-1 \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}dx}=\pi \left[ -\frac{1}{x-2} \right]_{-1}^{1}=\pi \left( 1-\frac{1}{3} \right)=\frac{2}{3}\pi \] 2) considerare la differenza tra l’ordinata della retta \(y=1\) e l’ordinata della funzione, e integrarne il quadrato, moltiplicato per \(\pi\), il chè evidentemente fornisce lo stesso integrale e quindi lo stesso volume: \[V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-\frac{x-1}{x-2} \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}dx}=\frac{2}{3}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini