Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Mi può aiutare in questo esercizio?
Studiare la continuità e la derivabilità su \(\mathbb{R}\) al variare del parametro \(a\) della funzione:
\[ f\left( x \right)= \left\{ \begin{array}{ll} {e}^{\frac{a}{x}}\quad x<0 \\ x\sin\sqrt{x}\quad x\geq 0 \end{array} \right.\]
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
poiché \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\sin \sqrt{x}=0=f\left( 0 \right)\), la funzione è continua \(x=0\), e quindi in tutto \(\mathbb{R}\), se e solo se anche \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{a/x}}=0\), e questo è vero se e solo se \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{x}=-\infty\), cioè se e solo se \(a>0\). In tal caso, la funzione è anche derivabile in \(x=0\), e quindi in tutto \(\mathbb{R}\), essendo: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sin \sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}\cos \sqrt{x} \right)=0=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{a{{e}^{\frac{a}{x}}}}{{{x}^{2}}} \right)\] dove l’ultimo limite può essere calcolato per sostituzione, ponendo \(t=-\frac{a}{x}\): \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{a{{e}^{\frac{a}{x}}}}{{{x}^{2}}} \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{1}{a}\frac{{{t}^{2}}}{{{e}^{t}}} \right)=-\frac{1}{a}\cdot 0=0\quad .\]
Massimo Bergamini