Ricevo da Maria Antonella la seguente domanda:
Buondì
ho un quesito per me incomprensibile.
Si consideri la funzione \(f(x)\) definita in questo modo: \[f\left( x \right)=\int\limits_{0}^{a}{{{e}^{-xt}}dt\quad .}\] Per quale valore di \(a\) diverso da zero, essa ha un estremo relativo in \(x=1\)?
Grazie!
Le rispondo così:
Cara Maria Antonella,
la funzione in questione è funzione sia di \(x\) che di \(a\), essendo \(t\) la variabile “muta” di integrazione, rispetto alla quale una primitiva della funzione integranda è \(-\frac{1}{x}{{e}^{-xt}}\), per cui si ha: \[f\left( x \right)=\left[ -\frac{1}{x}{{e}^{-xt}} \right]_{0}^{a}=-\frac{1}{x}{{e}^{-ax}}+\frac{1}{x}\quad .\] Derivando ora rispetto a \(x\), si ha \[f'\left( x \right)=\frac{{{e}^{-ax}}+ax{{e}^{-ax}}-1}{{{x}^{2}}}=\frac{1+ax-{{e}^{ax}}}{{{x}^{2}}{{e}^{ax}}}\] per cui la funzione \(f(x)\), definita e derivabile per \(x\neq 0\), ammette estremi relativi se e solo se \({{e}^{ax}}=1+ax\). In particolare, per \(x=1\), si dovrebbe avere \({{e}^{a}}=1+a\). Ora, la retta \(y=1+a\) è la retta tangente al grafico di \(y={{e}^{a}}\) nell’origine di un riferimento \(ay\): essendo \(a=0\) valore non accettabile per ipotesi, ed essendo la funzione \(y={{e}^{a}}\) comunque a concavità costante, e quindi priva di ulteriori punti di contatto con la retta tangente, si conclude che non esistono per \(f(x)\), qualunque sia \(a\neq 0\), punti di estremo relativo.
Massimo Bergamini