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Un quesito sul teorema di Lagrange

Un quesito sul teorema di Lagrange

di Massimo Bergamini, 13 Giugno 2013
Ricevo da Barbara la seguente domanda:
 
Professore,
non saprei come risolvere quesiti di questo genere! Mi aiuterebbe?
Giustificare perché non possono esistere due funzioni che soddisfino queste condizioni:
caso 1) \(f(x)\) è definita e continua in \(\mathbb{R}\), derivabile due volte in \(\mathbb{R}\) e tale che \(f^\prime (0)=1\), \(f^\prime (3)=7\) e \(f''\left( x \right)<0\) per ogni \(x\) appartenente a \(\mathbb{R}\).
caso 2) \(f(x)\) è definita e continua in \(\mathbb{R}\), derivabile in \(\mathbb{R}\)  e tale che \(f(3)= -1\), \(f(7)= -5\) e \(f'(x)>0\) per ogni \(x\) appartenente a \(\mathbb{R}\).
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Barbara,
in entrambi i casi l’impossibilità deriva dal teorema di Lagrange, che implica, per una funzione continua in un intervallo \(\left[a,b \right]\) e derivabile almeno in \(\left]a,b \right[\), l’esistenza di almeno un punto \(c\in \left]a,b \right[\) tale che \(f^\prime \left( c \right)=(f(b)-f(a))/(b-a)\).
Caso 1) Poiché \(f^\prime (3)-f^\prime (1)=6\), dovrebbe esistere un punto \(c\in \left]3,0 \right[\) tale che \(f''\left( c \right)=6/3=2\), il che contraddice l’ipotesi \(f''\left( x \right)<0\) per ogni \(x\) appartenente a \(\mathbb{R}\).
Caso 2) Poiché \(f(7)-f(3)=-4\), dovrebbe esistere un punto \(c\in \left]7,3 \right[\) tale che \(f^\prime \left( c \right)=-4/4=-1\), il che contraddice l’ipotesi \(f^\prime\left( x \right)>0\) per ogni \(x\) appartenente a \(\mathbb{R}\).
 
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, derivate, Teorema di Lagrange


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