MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Una funzione logaritmica

Una funzione logaritmica

di Massimo Bergamini, 13 Giugno 2013
Ricevo da Asia la seguente domanda:
 
Salve,
potrebbe aiutarmi nello studio completo di questa funzione?     \[f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-1\quad .\]
Grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Asia,
la funzione è definita per ogni \(x\) reale, in quanto l’argomento del logaritmo è sempre strettamente positivo, è pari, ed è positiva per \(x\) tale che \(x^2+1>e\), cioè \(x<\sqrt{e-1}\vee x>\sqrt{e+1}\). Essendo ovunque continua nel dominio reale, i soli limiti da considerare sono i seguenti:\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-1 \right)=+\infty \quad .\]Ricaviamo derivata prima e derivata seconda:\[f'\left( x \right)=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\quad \quad f''\left( x \right)=\frac{2\left( 1-{{x}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]
per cui in \(x=0\) si ha un minimo relativo, in quanto la derivata prima si annulla e cambia segno, da negativa a positiva, in corrispondenza a tale valore, e in \(x=\pm 1\) si hanno due punti di flesso, in quanto in corrispondenza a  tali valori la derivata seconda si annulla e cambia segno in modo tale che la concavità del grafico di \(f(x)\) è verso il basso esternamente all’intervallo definito dai due valori, verso l’alto internamente a tale intervallo.
 
Massimo Bergamini  
Tag: analisi infinitesimale, derivate, grafici, limiti, studio di funzione


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl