Ricevo da Asia la seguente domanda:
Salve,
potrebbe aiutarmi nello studio completo di questa funzione? \[f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-1\quad .\]
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Asia,
la funzione è definita per ogni \(x\) reale, in quanto l’argomento del logaritmo è sempre strettamente positivo, è pari, ed è positiva per \(x\) tale che \(x^2+1>e\), cioè \(x<\sqrt{e-1}\vee x>\sqrt{e+1}\). Essendo ovunque continua nel dominio reale, i soli limiti da considerare sono i seguenti:\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-1 \right)=+\infty \quad .\]Ricaviamo derivata prima e derivata seconda:\[f'\left( x \right)=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\quad \quad f''\left( x \right)=\frac{2\left( 1-{{x}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]
per cui in \(x=0\) si ha un minimo relativo, in quanto la derivata prima si annulla e cambia segno, da negativa a positiva, in corrispondenza a tale valore, e in \(x=\pm 1\) si hanno due punti di flesso, in quanto in corrispondenza a tali valori la derivata seconda si annulla e cambia segno in modo tale che la concavità del grafico di \(f(x)\) è verso il basso esternamente all’intervallo definito dai due valori, verso l’alto internamente a tale intervallo.
Massimo Bergamini