Ricevo da Federica la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
vorrei chiederle questa parte di un problema di maturità.
È data la funzione \(y=m^2x^2-2mx-3m+2\) con \(m\neq 0\). Calcolare in funzione di \(m\) le coordinate del vertice e dedurre il luogo geometrico descritto dal vertice al variare di \(m\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Federica,
posto che il vertice \(V\) di una parabola della famiglia in questione ha ascissa \(x_V=-b/(2a)=1/m\), si ricava per sostituzione l’ordinata, ottenendo \(y_V=-3m+1\). Sostituendo in quest’ultima espressione \(m=1/x\), posto che \(x\neq 0\), si ottiene l’equazione del luogo descritto dai vertici, cioè l’iperbole equilatera \[y=\frac{x-3}{x}\quad .\]
Massimo Bergamini