Ricevo da Ilaria la seguente domanda:
Gentilissimo Professore,
non so risolvere questo problema!!!
Risolvere la disequazione:\[\int\limits_{0}^{x}{\frac{1-t}{1+{{t}^{2}}}dt\ge 0\quad .}\] Grazie.
Le rispondo così:
Cara Ilaria,
prima di tutto ricaviamo esplicitamentel’espressione della funzione integrale \(f\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{\frac{1-t}{1+{{t}^{2}}}dt}\): \[f\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{\frac{1-t}{1+{{t}^{2}}}dt=}\int\limits_{0}^{x}{\frac{1}{1+{{t}^{2}}}dt-}\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{x}{\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}dt=}\left[ \arctan t-\ln \sqrt{1+{{t}^{2}}} \right]_{0}^{x}=\arctan x-\ln \sqrt{1+{{x}^{2}}}\quad .\] Questa funzione, definita, continua e derivabile per ogni \(x\) reale, la cui derivata prima è ovviamente \(f'\left( x \right)=\frac{1-x}{1+{{x}^{2}}}\), è monotona crescente per \(x<1\), monotona decrescente per \(x>1\), presenta un massimo relativo, di valore positivo, in \(x=1\) e ha limite \(-\infty\) per \(x\) che tende a \(\pm\infty\): se ne deduce che necessariamente \(f(x)=0\) è verificata per due e solo due valori \(x_1>1\) e \(x_2>1\), e quindi che \(f(x)\geq 0\) se e solo se \(x_1\leq x\leq x_2\). Facilmente si verifica che \(x_1=0\), mentre \(x_2\) può essere approssimata con uno dei vari metodi di calcolo numerico (bisezione, metodo delle tangenti o delle secanti,…), ottenendo \({{x}_{2}}\approx 3,50264\). In conclusione, la disequazione è risolta per ogni \(x\) tale che \[0\le x\le 3,50264\quad .\]
Massimo Bergamini