Ricevo da Giovanni il seguente quesito:
Si calcoli il volume ottenuto dalla rotazione intorno all’asse \(y=1\) della superficie delimitata dalle rette di equazione \(x=-1\), \(x=1\), \(y=1\) e dalla curva di equazione \[y=\frac{x-1}{x-2}\]. Non riesco a capire come adattare la nota formula per il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione quando l’asse di rotazione è traslato come in questo caso. Leggi tutto »

Ricevo da Elisa il seguente problema:
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali \(xOy\), siano date due parabole con gli assi perpendicolari all’asse delle \(x\), i cui vertici siano allineati con l’origine \(O\) e abbiano le ordinate rispettivamente eguali a \(1\) e \(3\). Si sa inoltre che le due curve hanno in comune il punto \(A(0;2)\). Assunto come parametro \(k\) l’ascissa del vertice di ordinata minore, si scrivano le equazioni delle due curve e si esprimano per mezzo di \(k\) le coordinate del loro secondo punto d’incontro; indi si determini l’area della regione limitata dalle due curve. Infine si trovino, tra le corde della regione considerata, che siano parallele all’asse delle \(y\):
(a) quella di lunghezza massima;
(b) quella che con il punto \(A\) individua il triangolo di area massima. Leggi tutto »

Ricevo da Francesca il seguente integrale improprio:
\[\int\limits_{-1}^{+\infty }{\frac{1}{\left( x+2 \right)\sqrt{\left| x \right|}}}dx\quad .\] Leggi tutto »