Ricevo da Elisa il seguente problema:
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani è assegnato il punto \(A(a,-a)\). Si scriva l’equazione della circonferenza \(\gamma\) di centro \(A\) che stacca sull’asse \(x\) un segmento di lunghezza \(2\sqrt{2}\). Si intersechi \(\gamma\) con l’iperbole \(\sigma\) di equazione \(xy=1\) e, osservando che l’equazione risolvente del sistema delle equazioni delle due curve è il quadrato di un trinomio, si deduca che al variare di \(a\) le curve \(\sigma\) e \(\gamma\) sono bitangenti tra loro in due punti \(B\) e \(C\). Si individuino le circonferenze \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) che si ottengono per quei valori di \(a\) per cui il segmento \(BC\) dista dal centro della circonferenza di cui è corda i \(3/10\) del segmento stesso. Trovare inoltre l’area della regione finita di piano delimitata dalle rispettive corde \(BC\) di \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) e dalla curva \(\sigma\). Leggi tutto »

Ricevo da Nicolò il seguente problema:
Dato un settore circolare \(AOB\) di raggio \(r\) con angolo al vertice \(A\hat{O}B=\pi /4\), determinare sull’arco \(AB\) un punto \(M\) tale che dette \(P\) e \(Q\) le proiezioni di \(M\) su \(OB\) e \(OA\) risulti massimo il perimetro del triangolo \(PMQ\). Verificare poi che il triangolo \(PMQ\) di perimetro massimo è anche quello di area massima. Leggi tutto »

Ricevo da Roberto il seguente problema:
Determina il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla retta di equazione \(y=\frac{3}{2}\), passanti per il punto \(A(0;4)\). Classifica tale luogo geometrico e calcola l’area della regione finita di piano compresa tra esso, l’asse \(x\) e le rette di equazione \(x=1\) e \(x=3\). Leggi tutto »