Ricevo da Jessica il seguente problema:
a) Determina il campo di esistenza della funzione \[f\left( x \right)=\frac{\ln x}{1-2\ln x}\] e calcola i limiti per \(x\to {{0}^{+}}\) e per \(x\to +\infty\).
b) Dimostra che la funzione è invertibile nel suo campo di esistenza e scrivi l’equazione della funzione inversa. Perché la funzione è invertibile pur non essendo crescente?
c) Considera \(\left| f\left( x \right) \right|\) e verifica che assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\). Si può affermare che vale il teorema di Rolle nell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\)?
d) Studia la continuità e la derivabilità di \(\left| f\left( x \right) \right|\). Leggi tutto »

Ricevo da Beatrice i seguenti quesiti:
1) Verificare che la funzione \[f\left( x \right)=\ln \left( {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{1-\cos \left( \frac{\pi x}{\sqrt{2}} \right)}\] ha un punto stazionario nell’intervallo \(\left[ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right]\).
2) Considera la funzione \(f:\left( -\infty ,0 \right]\to I\) definita da \(f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}-1}}\); trova l’insieme \(I\) delle immagini, verifica che è invertibile e calcola l’inversa. Leggi tutto »

Ricevo da Francesco la seguente domanda:
Si consideri la funzione
\[F\left( x \right)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{t}{\ln \left( t+1 \right)}dt}\]
e si dimostri che è invertibile nell’intervallo \(]0;+\infty[\). Detta \(G(y)\) la funzione inversa, si calcoli \(G^\prime (0)\).
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