Ricevo da Elisa il seguente problema:
Trovare l’equazione della famiglia di curve razionali intere che passano per \(A(0,1)\) e tali che in ogni punto un quarto della loro pendenza è proporzionale al cubo dell’ascissa auementato di \(2\). Studiare l’andamento di tali curve, determinare quella tangente all’asse delle \(x\) e rappresentarla. Calcolare l’area \(S\) della regione finita di piano limitata dal grafico della curva della famiglia che nel punto \(P\) di ascissa \(1\) ammette tangente appartenente al grafico del fascio \(y=12x+q\) e dalla retta \(y=1\). Leggi tutto »

Ricevo da Elisa il seguente problema:
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani è assegnato il punto \(A(a,-a)\). Si scriva l’equazione della circonferenza \(\gamma\) di centro \(A\) che stacca sull’asse \(x\) un segmento di lunghezza \(2\sqrt{2}\). Si intersechi \(\gamma\) con l’iperbole \(\sigma\) di equazione \(xy=1\) e, osservando che l’equazione risolvente del sistema delle equazioni delle due curve è il quadrato di un trinomio, si deduca che al variare di \(a\) le curve \(\sigma\) e \(\gamma\) sono bitangenti tra loro in due punti \(B\) e \(C\). Si individuino le circonferenze \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) che si ottengono per quei valori di \(a\) per cui il segmento \(BC\) dista dal centro della circonferenza di cui è corda i \(3/10\) del segmento stesso. Trovare inoltre l’area della regione finita di piano delimitata dalle rispettive corde \(BC\) di \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) e dalla curva \(\sigma\). Leggi tutto »

Ricevo da Maria Antonella la seguente domanda:
Si consideri la funzione \(f(x)\) definita in questo modo: \[f\left( x \right)=\int\limits_{0}^{a}{{{e}^{-xt}}dt\quad .}\] Per quale valore di \(a\) diverso da zero, essa ha un estremo relativo in \(x=1\)? Leggi tutto »