Guardo la mia scrivania e provo la tentazione quasi irresistibile di dare alla Seconda Legge la colpa per lo stato di confusione forse irrimediabile in cui essa si trova. Tutti abbiamo sentito dire che l'entropia ha a che fare con il disordine. Se è così, se la perdita di ordine è addirittura una legge della fisica, perché dovrei sentirmi responsabile del fatto che i compiti che dovrei correggere sono scomparsi fra la pila delle riviste e gli appunti di termodinamica? Perché dovrei sentirmi in colpa se ho l'impressione talvolta che dal mucchio di penne e matite possa alzarsi il mostro di Soisy immaginato dall'artista francese Niki de St Phalle, e andarsene placidamente in giro per il mio studio?
Va bene, proprio perché parte del cumulo di carte che mi circonda è costituito da appunti sulla termodinamica, non posso cavarmela così facilmente. Il legame fra la Seconda Legge e il disordine c'è, ma va spiegato con cura. In fondo, la stessa idea di confusione che abbiamo comunemente è piuttosto confusa, se possiamo collegarla a un'opera d'arte, soltanto apparentemente informe. Una nuova riflessione sulla Seconda Legge si impone. È grazie ad essa che renderemo più preciso il nostro concetto di disordine. E chissà che il garbato mostro di Niki non ci appaia come il simbolo di un'idea recente e molto suggestiva, quella della nascita dell'ordine dal disordine...
Il problema dell'irreversibilità
Abbiamo visto nel primo post sull'entropia che la Seconda Legge è profondamente diversa dalle altre leggi della Fisica perché distingue esplicitamente fra passato e futuro, indicando un verso privilegiato per il prodursi dei fenomeni naturali. Gli eventi si susseguono nell'ordine di entropia crescente. Questo non è ciò che accade nell'universo dei fenomeni puramente meccanici, quelli descritti dalle leggi di Newton. Il moto dei pianeti li porta ad avvicinarsi al Sole e poi di nuovo ad allontanarsene, in un andamento periodico che sembra ripetersi immutato nell'abisso del tempo astronomico. Un pendolo ideale oscilla da destra a sinistra e poi di nuovo da sinistra a destra, scendendo e risalendo, come se per esso il passato e il futuro fossero indistinguibili se non per convenzione. Ma, introduciamo nel quadro gli aspetti termici, e tutto cambia. Una tazza di tè dimenticata sulla tavola si raffredda inevitabilmente e non torna più a scaldarsi da sola. L'acqua evapora una volta per tutte dai panni stesi ad asciugare al vento. La periodicità caratteristica dei fenomeni meccanici cede il passo all'irreversibilità dei fenomeni termici, primo fra tutti il processo di avvicinamento costante all'equilibrio termico.
È il problema dell'irreversibilità, che ha già fatto lavorare molti grandi autori per più di un secolo. Un gas è fatto di molecole. Le molecole seguono le leggi di Newton. Ma le leggi di Newton sono reversibili nel tempo: se permettono un particolare moto, permettono ugualmente il moto inverso. Questo non è il caso di un gas che, una volta uscito dal palloncino, non ne vorrà sapere di rientrare spontaneamente al suo interno. Se le singole molecole obbediscono a leggi simmetriche rispetto al passato e al futuro, perché per il gas nel suo insieme, per il palloncino e per tutti noi la asimmetria fra passato e futuro è così evidente?
Probabilità e disordine
La comprensione del significato profondo di questo problema è merito soprattutto di Ludwig Boltzmann, uno dei più grandi fisici teorici dell'Ottocento. Boltzmann si rese conto che l'irreversibilità è un fenomeno statistico, dovuto al fatto che un gas è un sistema composto da un numero enorme di particelle. Possiamo seguire in dettaglio il movimento della Luna intorno alla Terra. Riusciamo a risolvere almeno approssimativamente le equazioni che regolano l'interazione di un piccolo numero di oggetti, come i corpi celesti principali del nostro Sistema Solare. Ma un gas è composto da un numero di molecole dell'ordine di 100.000.000.000.000.000.000.000, o centomila miliardi di miliardi, o ancora meglio 1023. Non abbiamo alcuna speranza di trovare una soluzione delle leggi di Newton per un numero così enorme di oggetti. Piuttosto che al moto dettagliato di ogni singola molecola (che riveste, diciamocelo, un interesse abbastanza limitato) dobbiamo tentare di ricostruire il suo moto probabile.
Se abbiamo un certo numero di oggetti identici, diciamo 8 palline, come possiamo stabilire qual è il modo più probabile di trovarli disposti in una scatola? Dividiamo il fondo della scatola in due parti uguali. È senz'altro possibile che le palline vengano a trovarsi tutte in uno stesso riquadro: ma non è molto probabile. Questo può avvenire infatti soltanto in due modi diversi: tutte le palline nel riquadro A o tutte nel riquadro B.
Chiediamoci invece in quanti modi possiamo disporre le palline uniformemente, quattro per riquadro. Possiamo scegliere la prima pallina da mettere nel riquadro A fra 8 palline, la seconda fra 7, la terza fra 6 e la quarta fra 5: in tutto 8x7x6x5=1680 modi diversi. È vero, in questo modo non teniamo conto che scegliere una pallina per prima o per seconda non fa differenza. Dobbiamo contare i modi diversi di disporre fra loro 4 palline, che sono 4x3x2x1=24. Tenendo conto di questo, arriviamo alla conclusione che ci sono 70 modi diversi per disporre le palline uniformemente, in maniera perfettamente simmetrica, mentre ci sono soltanto 2 modi per disporre in maniera perfettamente asimmetrica. Se la disposizione avviene a caso, è 35 volte più probabile che il risultato sia simmetrico piuttosto che asimmetrico.
In fisica ci siamo abituati a chiamare la configurazione più simmetrica possibile di un sistema la più disordinata. Diciamo allora che un insieme di moltissimi oggetti, lasciati liberi di interagire, avrà una probabilità enormemente più alta di finire in una disposizione disordinata, piuttosto che in una ordinata, caratterizzata da una forte asimmetria. E, quel che più conta, una volta finito nel disordine, avrà pochissime probabilità di uscirne spontaneamente. Il disordine è, come l'equilibrio termico, una condizione irreversibile.
Questo è il significato della Seconda Legge secondo Boltzmann. L'equilibrio termico si stabilisce spontaneamente perché è infinitamente più probabile di qualsiasi altra distribuzione dell'energia fra le molecole. Ciò che distingue il futuro dal passato è di essere, in un certo senso, più probabile di quello. E, in un certo senso, più disordinato. Allora, devo davvero tentare di rimettere in ordine la mia scrivania?
Sì, perché la storia non finisce qui...
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