Il processo contro Galileo Galilei nel 1633 rappresenta, come tutti sanno, un momento altissimo e drammatico nella storia della scienza. In quell'occasione si sono scontrati il desiderio del potere di mantenere il controllo ideologico sulle coscienze e la libertà dello scienziato di indagare la verità attraverso l'indagine sperimentale. Galileo fu condannato e costretto, sotto la minaccia della tortura, a rinnegare le proprie convinzioni. Ma il metodo scientifico si affermò nei decenni successivi come la strada maestra per liberare il sapere dall'ossequio all'autorità. La conoscenza non deve accettare nulla per vero, se non attraverso l'esperienza. La teoria può proporre spiegazioni raffinate ed eleganti dei fenomeni fisici. Ma non ha valore se non è in grado di formulare previsioni che possano essere controllate sperimentalmente. Da Galileo ad oggi, è questo il processo umile e scrupoloso attraverso il quale progredisce la scienza.

Ma, e oggi? Cosa succede di fronte ai fenomeni caotici? Abbiamo visto nell'ultimo post che nei sistemi caotici una estrema sensibilità alle condizioni iniziali impedisce di prevederne l'evoluzione futura in maniera quantitativa. L'evoluzione resta deterministica, così che a un particolare valore delle condizioni iniziali corrisponde un particolare stato del sistema dopo un certo tempo. Ma un'incertezza anche minima nelle condizioni iniziali comporta un'incertezza enorme sullo stato finale. Basta che una farfalla batta le ali, e invece del bel tempo fra un mese ci sarà un tornado.
Galileo, moralmente vincitore contro l'Inquisizione, cade dunque vittima di una semplice farfalla? Il caos mette in crisi addirittura lo stesso metodo sperimentale?

Un nuovo concetto di previsione
Consideriamo l'evoluzione di un ipotetico sistema dinamico descritto dalla seguente regola: se il numero x (compreso fra 0 e 1, estremi esclusi) rappresenta lo stato del sistema a un dato istante, lo stato successivo è dato dal numero 2x(1-x).  È facile verificare che, qualunque sia lo stato iniziale x scelto, dopo pochi passaggi l'applicazione ripetuta della regola conduce allo stato finale x_f = 0,5. Una volta raggiunto questo stato, il sistema rimane in esso per sempre. Il valore x = 0,5 è un attrattore per questo sistema.
Questo è l'esempio più semplice possibile di attrattore, un punto fisso. Un pendolo smorzato è un sistema fisico che presenta un attrattore di questo tipo, costituito dallo stato in cui il pendolo è fermo in posizione verticale. Ma se modifichiamo la mappa logistica scrivendo la regola di evoluzione come 3,1⋅x(1-x), l'evoluzione cambia. Ora il sistema, qualunque sia lo stato di partenza, finisce per oscillare indefinitamente fra due stati. Abbiamo allora un nuovo tipo di attrattore, il ciclo limite.
Continuando ad aumentare il coefficiente r che moltiplica x nella mappa logistica si ottengono cicli limite sempre più complessi, con quattro, otto, sedici, ... estremi di oscillazione. L'evoluzione è però ancora prevedibile, perché il sistema passa dalle vicinanze di un estremo di oscillazione a quelle del successivo. Il diagramma qui riprodotto (realizzato da Sam Derbyshire) mostra come cambia l'evoluzione della mappa logistica all'aumentare di r.
Quando r raggiunge un valore approssimativamente uguale a 3,57, accade qualcosa di drammatico. Il sistema diventa caotico. Dato un particolare stato, non è più possibile prevedere dove si troverà lo stato successivo. Ora l'intero intervallo fra 0 e 1 è l'attrattore dell'evoluzione del sistema.

Sembra proprio che ci troviamo in una situazione in cui l'imprevedibilità è totale, ma non è così. È possibile dimostrare che, se un sistema dinamico possiede un attrattore, allora è possibile prevedere quanto tempo trascorrerà nelle vicinanze di ogni punto dell'attrattore. Non possiamo più dare una previsione deterministica, ma possiamo dare una previsione probabilistica dell'evoluzione del sistema.
Se il tempo meteorologico è un sistema caotico, come ha mostrato Edward Lorenz, allora non possiamo prevedere con esattezza quando pioverà. Ma possiamo fare un'ipotesi sulla frequenza con cui pioverà. E questa è ancora una previsione quantitativa, confrontabile con l'esperienza.
Il metodo sperimentale è salvo...

Paesaggi evolutivi e sistemi complessi
A questo punto ci sarebbe materiale, non per un altro post, ma per interi libri. E molti libri sono stati scritti, in effetti, su questi argomenti. Sarebbe bello discutere, ad esempio, di quello che accade quando un sistema dinamico possiede un attrattore strano: un attrattore formato da una curva elegante e complicata, che contiene al proprio interno innumerevoli copie di sé stessa. (In questi casi, si dice che l'attrattore è un esempio di curva frattale.) L'attrattore di Lorenz e l'attrattore del circuito di Chua (ricordate Manuela?), che aprono i due post precedenti, sono esempi di attrattori strani. Qui a fianco vedete un altro esempio, l'attrattore di Hénon.

Ma, anche se non ho il tempo di affrontare altri aspetti, voglio accennare almeno a una questione molto significativa. Nel caso di sistemi caotici che possiedono un attrattore, dobbiamo rinunciare a una previsione quantitativa simile a quella che facciamo quando prevediamo la prossima eclissi di Sole. Non possiamo più dire cosa farà il sistema. Dobbiamo accontentarci di esplorare le possibili evoluzioni del sistema.
Un sistema prevedibile è simile a una strada che avanza in maniera lineare. Magari ci sono delle curve, ma c'è un solo cammino segnato. Un sistema caoticamente imprevedibile è simile a un intero paesaggio, con colline e valli, luoghi più accessibili, in cui è più probabile trovarsi, e luoghi più impervi.
La metafora del paesaggio è molto usata per descrivere l'evoluzione di un'ampia classe di sistemi, affine a quella dei sistemi caotici ma meno precisamente definita: la classe dei sistemi complessi. Per un fenomeno complesso - come l'evoluzione di una specie biologica - non siamo e probabilmente non saremo mai in grado di fare delle previsioni. Quello che possiamo fare è descrivere il paesaggio evolutivo che il sistema si trova ad ogni istante ad esplorare, sperimentando nuove mutazioni e nuovi adattamenti. Uno studioso, Stuart Kauffman, ha coniato per questo paesaggio l'espressione adjacent possible, "possibile adiacente", per indicare le possibilità che ad ogni istante sono contigue allo stato in cui si trova il sistema.

Non posso fare altro che invitarvi ad esplorare il vostro possibile adiacente. E in particolare quella parte di esso che si addestra nello studio della scienza!

Per approfondire:

Wikipedia sugli attrattori.

Un buon libro in italiano sul caos.

Il libro di Kauffman che discute il concetto di possibile adiacente.